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RATIONNELLES.

Pour chasser tout-à-fait les $x$ du dénominateur de ${\frac {1}{\omega -x}},$ je multiplie les deux termes par $\omega +x,$ et j’ai

${\frac {\omega +x}{1-\omega +\omega ^{2}}}$ ou simplement, ${\frac {\omega +x}{1-\omega }},$

parce que $\omega ^{2}$ est inutile. Or, en rejetant toujours les $\omega ^{2},$

${\frac {\omega +x}{1-\omega }}=\omega +x(1+\omega )\,;$

donc le facteur $(1+x^{2})^{2}$ donne les fractions partielles

${\frac {x}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {x+1}{1+x^{2}}}\,;$

2.^o Soit $1-x+x^{2}=\omega ,$ ou $x^{2}=\omega -1+x\,;$ la fraction proposée deviendra ${\frac {1}{\omega (\omega +x)^{2}}}$ ou simplement ${\frac {1}{\omega (-1+x)}}.$ Maintenant ${\frac {1}{-1+x}}=$${\frac {x}{-1+\omega }}=-x\,;$ donc la fraction partielle qui résulte du facteur $1-x+x^{2}$ est $-{\frac {x}{1-x+x^{2}}},$ et par conséquent

${\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\left(1-x+x^{2}\right)}}={\frac {x}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {x+1}{1+x^{2}}}-{\frac {x}{1-x+x^{2}}}.$

14. Exemple II. Décomposer l’expression ${\frac {1}{(1+4x^{4})^{3}}}$ en fractions partielles ?

Les facteurs de $1+4x^{4}$ sont $1+2x+2x^{2}$ et $1-2x+2x^{2}.$ Soit $1+2x+2x^{2}=\omega ,$ on aura ${\frac {1}{(1+4x^{4})^{3}}}={\frac {1}{\omega ^{3}(\omega +4x)^{3}}}.$ Maintenant si, dans la quantité ${\frac {1}{(\omega -4x)^{3}}},$ on rejette les $\omega ^{3},$ et qu’on élimine les puissances de $x$ supérieures à la première, on aura