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RATIONNELLES.
![{\displaystyle {\frac {x^{m-1}}{1-2a^{n}x^{n}\operatorname {\operatorname {Cos} } .\theta +a^{2n}x^{2n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26b74706bee3f6114a6b8ca55435a7eb03f0650)
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{m-1}}}.{\frac {\operatorname {Cos} .(m-1)\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-1)\phi }{2n\omega \left(\operatorname {Cos} .n\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .n\phi \right).2n\omega \left(\operatorname {Cos} .2n\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2n\phi \right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035ca7d7daf45e24379b299a89d95a3d72d7d19d)
Mais, à cause de
et
cette expression devient
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .(m-n-1)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a575bdacee042e944b233baf9b59b1f9b17eb3)
C’est la fraction partielle demandée. Elle ne peut manquer d’être accompagnée de la fraction
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {+{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .(m-n-1)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6704bb54066db61e719101dc575f4bd20509f87)
la somme des deux donnera la fraction réelle
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {ax\operatorname {Sin} .(m-n)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-2ax\operatorname {Cos} .\phi +a^{2}x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8f4d4a1a3f585615feaa25f34e8f1acfc087d6)
quant au signe ambigu ; il est relatif à celui de
dans la valeur ![{\displaystyle \phi ={\frac {2k\varpi \pm \theta }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06132eb7652bddeab4362a1f639137e4e82629b3)
Si l’on donne à
les valeurs successives
jusqu’à ce qu’on ait
de ces fractions, leur somme sera égale à la
fraction proposée.
Problème. IV.
12. Soit
un facteur du dénominateur de la fraction
rationnelle
on propose de trouver directement les fractions
partielles
![{\displaystyle {\frac {A+Bx}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n}}}+{\frac {A'+B'x}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n-1}}}+{\frac {A''+B''x}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n-2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395e63c067064516b5b5bad8b9eeaa34893c3dfb)