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RATIONNELLES.

${\frac {1-2x+3x^{2}}{x^{3}(1-x)^{2}(1+2x)^{3}}}.$

1.^o Relativement au facteur $x^{3},$ il n’est pas nécessaire de faire $x=\omega \,;$ on peut développer ${\frac {1-2x+3x^{2}}{(1-x)^{2}(1+2x)^{3}}},$ jusqu’aux $x^{2}$ inclusivement ; en rejetant les $x^{3},$ son dénominateur se réduit à $1-4x+x^{2},$ et l’on a

${\frac {1-2x+3x^{2}}{1-4x+x^{2}}}=1-6x+26x^{2},$

en se bornant à trois termes ; donc les fractions partielles qui résultent du facteur $x^{3}$ sont

${\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {6}{x^{2}}}+{\frac {26}{x}}.$

2.^o Soit $1-x=\omega ,$ ou $x=1-\omega ,$ la fraction ${\frac {1-2x+3x^{2}}{x^{3}(1+2x)^{3}}}$ étant calculée en rejetant les $\omega ^{2}$ donnera

${\frac {2-4\omega }{27(1-5\omega )}}={\frac {2}{27}}(1+3\omega )\,;$

donc les fractions partielles qui résultent du facteur $(1-x)^{2}$ sont

${\frac {2}{27}}.{\frac {1}{(1-x)^{2}}}+{\frac {2}{9}}.{\frac {1}{1-x}}.$

3.^o Si l’on fait enfin $1+2x=\omega ,$ d’où $x=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{2}}\,;$ la fraction ${\frac {1-2x+3x^{2}}{x^{3}(1-x)^{2}}}$ deviendra, en rejetant les $\omega ^{3}$

$-{\frac {8(11-10\omega +3\omega ^{2})}{9-33\omega +46\omega ^{2}}}=-{\frac {8}{9}}\left(11+{\frac {91}{3}}\omega +58\omega ^{2}\right)\,;$

donc le facteur $(1+2x)^{3}$ donnera les fractions partielles