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RATIONNELLES.

vement ; de sorte que, dans ce développement, on pourra négliger $\omega ^{m}$ et les puissances supérieures de $\alpha .$

8. Si la quantité $1-\alpha x+\beta x^{2}-\gamma x^{3}$ avait deux facteurs égaux $1-px,\ 1-p'x,$ la quantité $a$ serait zéro ; et en faisant toujours $1-px=\omega ,$ on aurait à développer ${\frac {1}{\omega ^{2m}(b+c\omega )^{m}}},$ ce qui donnerait

${\frac {1}{b^{m}}}\left({\frac {1}{w^{2m}}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {c}{b}}.{\frac {1}{w^{2m-1}}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {c^{2}}{b^{2}}}.{\frac {1}{w^{2m-2}}}-\ldots \right)\,;$

et il faudrait prendre $2m$ termes de cette suite.

Quant au troisième facteur $1-p''x,$ on pourrait opérer comme dans le cas général ; mais, comme alors $a''+b''\omega +c''\omega ^{2}$ ne peut manquer d’être un quarré, le résultat doit être fort simple.

Pour y parvenir directement, je considère la quantité ${\frac {1}{(1-fx)^{2m}(1-gx)^{m}}}$ ou, plus généralement, ${\frac {1}{(1-fx)^{n}(1-gx)^{m}}}.$ Je fais $1-fx=\omega ,$ elle devient ${\frac {f^{m}}{(f-g)^{m}\omega ^{n}\left(1+{\frac {g}{f-g}}\omega \right)^{m}}},$ d’où résulte la suite

${\frac {f^{m}}{(f-g)^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-fx)^{n}}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {g}{(f-g)(1-fx)^{n-1}}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {g^{2}}{(f-g)^{2}(1-fx)^{n-2}}}-\ldots \right\}$

dont il faut prendre $n$ termes.

Supposons ensuite $1-gx=\phi \,;$ on aura une pareille suite pour l’autre facteur, et l’expression proposée ${\frac {1}{(1-fx)^{n}(1-gx)^{m}}}$ se partagera en ces deux suites,

${\frac {f^{m}}{(f-g)^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-fx)^{n}}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {g}{(f-g)(1-fx)^{n-1}}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {g^{2}}{(f-g)^{2}(1-fx)^{n-2}}}-\ldots \right\}$

${\frac {g^{n}}{(g-f)^{n}}}\left\{{\frac {1}{(1-gx)^{m}}}\ -{\frac {n}{1}}.{\frac {f}{(g-f)(1-gx)^{m-1}}}\ +{\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}}.{\frac {f^{2}}{(g-f)^{2}(1-gx)^{m-2}}}-\ldots \right\}$

la première devant avoir $n$ termes et la seconde $m.$