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DES ÉQUATIONS
changeant donc
en
nous aurons, pour seconde approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416fe30746ef44dec67f86049885571019492ded)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2c5bb5735c268eb1083f7cc9ffbabb73cdbfbb)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecaaacec9bf25fbc552b2b38b06b37180c722a89)
Si nous admettions deux termes de plus à la valeur hypothétique
de
en opérant d’une manière semblable, nous trouverions, pour
troisième approximation,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f883978e1ffd26a2933c230df072112890d5fa)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2048cc75e066beae5c00f1512d3a34d8650c6eae)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b6c8251797e79b1651ffc9b6169b063d122fde)
La marche de ces résultats nous conduit à soupçonner avec fondement, qu’en posant, en général,