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RATIONNELLES.
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(a+b\omega \right)^{m}}}={\frac {1}{a^{m}}}\left(1-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}\omega +{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\omega ^{2}-{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {m+2}{3}}{\frac {b^{3}}{a^{3}}}\omega ^{3}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10418bf126da0eb1336664308baab1697ae074dd)
donc
![{\displaystyle A={\frac {1}{a^{m}}},\quad B=-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}A,\quad C={\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}A,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd0b9e7b9de72db62e6ade4de13d4ab1c420bb8)
jusqu’à ce qu’on ait
de ces quantités.
En opérant semblablement sur l’autre facteur
et faisant
![{\displaystyle a'={\frac {\alpha }{p'}}-{\frac {2\beta }{p'^{2}}},\qquad b'={\frac {\beta }{p'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c545c010ecdd4bd5d0710f09aafc94961dbb1c)
la fraction
se trouvera décomposée en ces deux suites
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{a^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-px)^{m}}}-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}{\frac {1}{(1-px)^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {1}{(1-px)^{m-2}}}-\ldots \right\}\\\\+&{\frac {1}{a^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-p'x)^{m}}}-{\frac {m}{1}}{\frac {b'}{a'}}{\frac {1}{(1-p'x)^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b'^{2}}{a'^{2}}}{\frac {1}{(1-p'x)^{m-2}}}-\ldots \right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da59879b85311544d6929c1911e2eba742ac7fba)
dont chacune doit avoir
termes.
Puisque
et
les quantités
peuvent s’exprimer par le moyen de
et
seulement ; ainsi on aura
![{\displaystyle a={\frac {p-p'}{p}},\quad {\frac {b}{a}}={\frac {p'}{p-p'}},\quad a'={\frac {p'-p}{p'}},\quad {\frac {b'}{a'}}={\frac {p}{p'-p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3205ad9f23797da1b8b2c1b237e321f2f26e9d23)
3. Si l’on suppose que le développement de la fraction
donne la suite récurrente
![{\displaystyle 1+\theta 'x+\theta ''x^{2}+\theta '''x^{3}+\ldots +\theta ^{(n)}x^{n}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478d92f71f0355b567f7bbebcb8cd0361b1131b0)
pour en avoir le terme général
on fera, pour abréger,