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FRACTIONS

$1-px=\omega ,\quad$d’où$\quad x={\frac {1}{p}}-{\frac {\omega }{p}}\,;$

et par conséquent

$1-\alpha x+\beta x^{2}=\left({\frac {\alpha }{p}}-{\frac {2\beta }{p^{2}}}\right)\omega +{\frac {\beta }{p^{2}}}\omega ^{2}=a\omega +b\omega ^{2},$

en posant, pour abréger,

$a={\frac {\alpha }{p}}-{\frac {2\beta }{p^{2}}},\qquad b={\frac {\beta }{p^{2}}}.$

Donc la fraction proposée

${\frac {1}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{m}}}={\frac {1}{\omega ^{m}\left(a+b\omega \right)^{m}}}.$

Mais, en ordonnant la suite qui résulte de cette fraction par rapport à ${\frac {1}{\omega }},$ comme il conviendrait dans l’hypothèse de $\omega$ infiniment petit, il est clair que les $m$ premiers termes de la suite ainsi ordonnée seraient ${\frac {A}{\omega ^{m}}}+{\frac {B}{\omega ^{m-1}}}+{\frac {C}{\omega ^{m-2}}}$$+\ldots +{\frac {Z}{\omega }}\,;$ puisque le développement des autres parties ${\frac {A'}{(1+p'x)^{m}}}$$+{\frac {B'}{(1+p'x)^{m-1}}}+\ldots ,$ ne peut donner aucune puissance négative de $\omega \,;$ donc les $m$ termes

${\frac {A}{\omega ^{m}}}+{\frac {B}{\omega ^{m-1}}}+{\frac {C}{\omega ^{m-2}}}+\ldots +{\frac {Z}{\omega }}$

sont précisément les $m$ premiers termes que fournira le développement de l’expression ${\frac {1}{\omega ^{m}\left(a+b\omega \right)^{m}}}.$

Mais on a