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DIVERSES.
On pourrait faire une infinité d’applications des séries (6, 7, 8) ;
mais, comme elles ne sauraient offrir de difficulté, nous ne nous
y arrêterons pas. Nous nous contenterons d’observer que la formule (6) est comprise, comme cas particulier, dans la suivante
![{\displaystyle \Delta ^{k}\int y\operatorname {d} x=\Delta ^{k-1}y+A_{0}\Delta ^{k}y-A_{1}\Delta ^{k+1}y+A_{2}\Delta ^{k+2}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a94bbe96a2997057ae2fd0f697e4a616ad1c2d)
qui s’en déduit avec la plus grande facilité.
VIII. On peut employer aussi ; dans un grand nombre de cas, la formule suivante
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\Delta y-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{4}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859a9045fb9b8f2b14818b6be12597708366995f)
d’où on conclut
![{\displaystyle \Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=y-{\frac {1}{2}}\Delta y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{2}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{3}y+\ldots +Const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49432f89a3e3ef656193d20f82f650f251472b5c)
nous nous contenterons d’en faire les deux applications suivante.
Soit
d’où
on aura
![{\displaystyle \Sigma {\frac {1}{x^{2}}}=\mathrm {Const} .-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{x(x+1)}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb64345ad142f96edac4c1f02e4cbd99b0d80859)
série tout à la fois régulière et convergente.
Soit encore
l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}=(i,n),\Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1454c62efca9f0eb3c6552f27cf35c2b1d3af2e7)
![{\displaystyle =(i,n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e15f84542949e79f9f1a8cab391c12165a5658b)
et
partant, en observant que
![{\displaystyle \Delta ^{k}(i,n)=(i,n-k),\qquad \Delta ^{n+1}(i,n)=1,\qquad \Delta ^{n+1+\alpha }(i,n)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b180e1e37b1019404f020b0c2d56871dad581847)
nous aurons