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DIVERSES.

et comme, lorsque $x$ désigne la tangente de l’angle $z$, on a

$\operatorname {d} z={\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}},$

on conclut de cette formule

$z={\frac {1}{x}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{3.5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{3.5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\},$

dont les termes sont tous positifs.

On a encore

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,;$

d’où l’on tire

$z=x-\int {\frac {x^{2}\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}\,;$

ce qui donne, en vertu de la formule (4),

$z=x-{\frac {x}{3}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\}.$

La valeur de $z$, déduite de la formule précédente, était constamment trop petite ; celle qu’on déduira de celle-ci sera constamment trop grande ; de sorte que, par leur emploi simultané, on obtiendra une limite de l’erreur résultant de l’usage de chacune d’elles ; condition que l’on doit toujours s’imposer dans tout procédé approximatif. Ces formules sont précisément celles qu’on a proposé de démontrer à la page 188 de ce volume.

On tire de notre dernière série

${\frac {z}{x}}=1-{\frac {1}{3}}\left\{\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {2}{5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}+{\frac {2.4}{5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+\ldots \right\}\,;$