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SÉRIES
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .z={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b842c7a1c74f597a3a802b8fd56fb2607ba1c00)
mettant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra
![{\displaystyle z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x-{\sqrt {-1}}\right)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb693a3f89276803ecfe81b071fe1a70a6642a11)
![{\displaystyle \left.-\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x+{\sqrt {-1}}\right)\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599aeb6471e427aca5751f8c5967ce1756e100c9)
En développant le second membre de cette équation en deux séries et réunissant les termes correspondans, on tombe précisément sur la formule donnée par M. Kramp, à la page 29 de ce volume, et qui se trouve ainsi établie sans induction.
Désignons l’angle droit par
et faisons, dans l’équation (3)
nous trouverons
![{\displaystyle q-u={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57ab6b4257dd5cdbb6a6444a0961a912876d291)
![{\displaystyle \left.-\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f89f9da462fb9d181b39d8837fcde930e525d)
développant le second membre, et observant que
![{\displaystyle {\frac {\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}-\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}}{2{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {Sin} .nu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3cbdc9181de8b43893803516213723b08ef226)
nous aurons, en changeant
en
,
![{\displaystyle q-z={\frac {\operatorname {Cos} .z}{1}}\operatorname {Sin} .z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}z}{2}}\operatorname {Sin} .2z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{3}z}{3}}\operatorname {Sin} .3z+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064835d73257da505fc56f5c032e1aa829e7068e)
série très-régulière.
IV. En intégrant par parties, on trouve
![{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}}={\frac {x^{m+1}}{m\left(1+x^{2}\right)^{n}}}+{\frac {2n}{m}}\int {\frac {x^{m+2}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cafcb903e9bcd697ec71363678b6fdc604c982)
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