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DE NEWTON.

${\begin{aligned}\mathrm {OM} \ &=\quad {\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}{c}},\\\mathrm {OM} '&=-{\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}{c}}\,;\end{aligned}}$

valeurs qui ne diffèrent de celles de $r$ que par le signe de la dernière, qui n’est ici d’aucune considération.

On se convaincra facilement que le point $\mathrm {P}$ ne saurait, dans aucun cas, être intérieur au plus petit des deux cercles ni même au quarré circonscrit dont les côtés seraient parallèles aux deux droites données. Si ce point se trouvait sur la circonférence du grand, le problème n’admettrait que trois solutions.

On conviendra qu’il serait difficile de découvrir une construction géométrique du problème plus simple que celle que nous venons d’indiquer. Ce problème peut, au surplus, dans le cas même le plus général, être très-aisément construit par un procédé mécanique ; il ne s’agit, en effet, pour cela, que de marquer sur l’arête d’une règle deux points dont la distance soit égale à la longueur donnée ; de promener cette règle sur le plan des droites données, de manière que les deux points marqués sur son arête soient invariablement sur ces deux droites. En l’arrêtant dans les deux, trois ou quatre positions où elle passe par le point, et menant des droites ; ces droites seront les solutions du problème^[1].

Ceci peut fournir, au surplus, une manière assez commode de construire les racines d’une équation du quatrième degré qui n’en a que deux imaginaires au plus. Reprenons en effet l’équation dont les racines sont les quatre segmens que les droites cherchées dé-

1. En d’autres termes, le problème revient à mener, par un point extérieur, une tangente à la courbe dont il a été question à la page 113 du précédent volume.