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ÉQUATIONS
monter ensuite à la valeur de
, au moyen des relations établies ci-dessus entre ![{\displaystyle x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1626c3d196440c927a7ee577ddfc6142b055b2fd)
III. À l’aide de ces relations, la valeur de
peut être développée en fraction continue d’une forme fort élégante. L’équation
donne, en transposant,
![{\displaystyle 4x_{n}^{3}=3x_{n}+a_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd600c99c67f7a994e01f54041b396755b6e3344)
mais l’équation
donne aussi, en transposant,
![{\displaystyle 2x_{n}^{2}=x_{n-1}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b89371e243a439652a6c788314b623d2058511f)
divisant donc la première par la seconde, il viendra
![{\displaystyle 2x_{n}={\frac {3x_{n}+a_{n}}{x_{n-1}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6b0cb0066145b829e87d25f8c592cfa214d5ea)
ou, en chassant le dénominateur, réduisant et transposant
![{\displaystyle 2x_{n}x_{n-1}=x_{n}+a_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68289aa46d096bc0ca0517a98d965f677bb41259)
d’où on tire
![{\displaystyle 2x_{n-1}=1+{\frac {a_{n}}{x_{n}}}=1+{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f9a7673da7793ec36048778629fc9bf12f8035)
on aura donc cette suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x\ \ =&1+{\cfrac {2a_{1}}{2x_{1}}},\\2x_{1}=&1+{\cfrac {2a_{2}}{2x_{2}}},\\2x_{2}=&1+{\cfrac {2a_{3}}{2x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \\2x_{n-1}=&1+c{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d2d04ca68d869acd3106e772ec2309b4c5121)
d’où on conclura facilement