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CAS DIVERS

LEMME II. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exircée par une portion de fuseau sphérique infiniment étroit sur le centre de la sphère ?

Solution En supposant que les arcs de grands cercles qui bornent le fuseau soient des arcs de méridiens, d’une longueur commune égale à $b,$ et formant entre eux un angle égal à a, il suffira évidemment, pour parvenir au but, de changer $a$ en $\operatorname {d} a,$ dans les formules du Problème VI ; observant qu’alors $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\operatorname {d} a={\tfrac {1}{2}}\operatorname {d} a,$ il viendra

R={\tfrac {1}{2}}k\operatorname {d} a{\sqrt {b^{2}-2b\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Sin} .^{2}b}},\ \operatorname {Tang} .\theta ={\frac {b-\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .b}{\operatorname {Sin} .^{2}b}}.

PROBLÈME XI. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par la surface d’un triangle sphérique quelconque sur le centre de la sphère ?

Solution. Le triangle sphérique dont il s’agit étant donné, ses angles et ses côtés doivent l’être aussi. Soient donc $a,b,c$ ses trois côtés et $A,B,C$ les angles respectivement opposés. Supposons-le tellement situé sur la sphère que son côté $a$ se confonde avec le premier méridien et le sommet de son angle $C$ avec le pôle.

Considérons sur ce triangle une portion de fuseau infiniment étroite ayant son sommet en $C$ et se terminant au côté opposé $c$ ; soit $X$ l’angle que forme l’un des deux méridiens qui borne cette portion de fuseau avec le premier méridien ; soit $\operatorname {d} X$ l’angle des deux méridiens qui le terminent, et soit enfin $y$ leur longueur commune jusqu’au côté $c$ (car, à cause de l’angle infiniment petit qu’ils comprennent, il est permis de les supposer égaux). Si nous désignons par $\operatorname {d} P$ l’action exercée par cet élément sur le centre de la sphère et par $\theta$ l’angle que fait sa direction avec le rayon qui va au pôle, nous aurons, par le Lemme II,

\operatorname {d} P={\tfrac {1}{2}}k\operatorname {d} X{\sqrt {y^{2}-2y\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Sin} .^{2}y}},\ \operatorname {Tang} .\theta ={\frac {y-\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .y}{\operatorname {Sin} .^{2}y}}\,;