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CAS DIVERS

$1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c=$

$2\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a+2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(b+c)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(b-c)\,;$

ou, en développant et réduisant,

$1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c=$

$2\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a+2\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c\,;$

ou, en transformant les sinus en fonctions de cosinus et réduisant,

$1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c=2\left\{\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c-1\right\},$

ou enfin

$1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c=2\left\{\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c-\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\right\}\,;$

substituant dans la première des équations (4), et exécutant sur les deux autres une transformation analogue, nous aurons

$\left.{\begin{aligned}&2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}c\operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c-\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a,\\&2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}c\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a-\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b,\\&2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a+\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b-\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c.\end{aligned}}\right\}$(5)

Présentement, en vertu des formules (1), on a

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=2\left(\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a+\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b+\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c\right)\,;$

on a ensuite, en vertu des mêmes formules et des formules (5),

$2YZ\operatorname {Cos} .\alpha +2ZX\operatorname {Cos} .\beta +2XY\operatorname {Cos} .\gamma$