8
INTÉGRATION
le logarithme de l’infini, lequel, comme on sait, doit être lui-même infini.
Posons, en second lieu,
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b973fab3020109d298f1dc8bd0afa9a73fc5ada)
(5′)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2fb76f463db742eebbfbbebbf0008b8172b520)
(6′)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle (a+zx)\left(B+2Cx+3Dx^{2}\right)-z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f2d1fd32173521c6af98cd7bbb8e6bd8e9314b)
ou, en ordonnant par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle (aB-z)+(Bz+2aC)x+(2Cz+3aD)x^{2}+3Dzx^{3}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d206fbe8b3654be759aa894dc1064b12a8c1d9)
(7′)
En mettant successivement pour
dans cette équation, les valeurs
on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(aB-z)-(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)-3Dz,\\\\0=&(aB-z),\\\\0=&(aB-z)+(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)+3Dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e5479005cd9b7a83f9f0543e3f434e15d9d83e)
Prenant les différences consécutives de ces équations, nous obtiendrons ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(Bz+2aC)-(2Cz+3aD)+3Dz,\\\\0=&(Bz+2aC)+(2Cz+3aD)+3Dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adbf1ae504c399181a76a10d89a59174f870391)
Prenant la demi-différence de ces dernières, nons aurons
![{\displaystyle 2Cz+3aD=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9978aea7b3df3d96380a7c621718fb22f2110ec)