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DOUBLES
![{\displaystyle +19,\qquad +12\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657966d89506cd7a761b2a779ee51645bf081615)
ou bien
![{\displaystyle -20,\qquad -13,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42c6d943577313e81648c8b3256c69c4d70ccc0)
ce qui donne, pour les nombres triangulaires eux-mêmes
![{\displaystyle {\frac {19.20}{2}}=-{\frac {-20.-19}{2}}=190,\qquad {\frac {12.13}{2}}=-{\frac {-13.-12}{2}}=78\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dd2ea872c90011aa3d06cc98333ad6b6bd63fc)
c’est, en effet, à quoi se réduisent les fonctions proposées lorsqu’on y fait
.
Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à
et à
on les résout par rapport à
il viendra
![{\displaystyle z=-{\frac {25\alpha -16}{\alpha ^{2}-10}},\qquad z=-{\frac {7\beta -4}{\beta ^{2}-8}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f64555c92e06ff28d5aeb33931b86cdc5773071)
d’où
![{\displaystyle {\frac {25\alpha -16}{\alpha ^{2}-10}}={\frac {7\beta -4}{\beta ^{2}-8}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa6ec2003931b3a2206d9f580e4684d25ab3138)
relation qui devra constamment exister entre les indéterminées
quelque valeur qu’on leur assigne d’ailleurs.
Cette équation de relation, par l’application des méthodes connues,
pourra donc servir à trouver une infinité de systèmes de valeurs
rationnelles de
et
desquelles on pourra conclure les valeurs
correspondantes de
Celles d’entre ces valeurs qui rendront
et
entiers résoudront le problème ; car elles rendront également
entiers les nombres
et
racines des nombres triangulaires auxquels se réduiront les deux polynômes proposés, par la
substitution de la valeur de
2. Soient, en second lieu, les deux fonctions
![{\displaystyle 18z^{2}+7z+7,\qquad 8z^{2}+5z+4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd1c226173fb8a8f4efdc9c9f2782eb69dd197c)