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DES DÉVELOPPANTES CONSÉCUTIVES.
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518c221e144f9f23d15334c3924be25b99fc4ead)
l’angle
dont la tangente
a tourné, est précisément
ou
on a donc
![{\displaystyle \phi =\alpha .{\frac {R+2r}{R}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b8bee994cd201fa8efe109c22397438b17f4a6)
d’où
Si
est l’angle total formé par les tangentes extrêmes ; comme
qui lui correspond
on aura
![{\displaystyle q={\frac {R}{R+2r}}\omega ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5891a0c8249d1fa555ab2b233a66275674e68d)
d’où
![{\displaystyle \quad {\frac {R}{R+2r}}={\frac {q}{\omega }};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f41673a35e5a5e98013895d3a2d4e1c52e298f)
on a donc ; en substituant,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166bff99bb326f04e4fc9da24841cd3c62509e9d)
d’où l’on conclut, pour l’équation de l’épicycloïde,
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8555753220561e0f6b42157c5340aac5809b188)
équation qui est précisément celle de la courbe vers laquelle tendent
les développantes successives. Et, comme les considérations précédentes s’appliquent aux épycîcloïdes intérieures, pourvu qu’on prenne
et
de signes contraires, on voit facilement que leurs équations
seront de même
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8555753220561e0f6b42157c5340aac5809b188)
l’angle
étant alors plus petit que
Le théorème se trouve donc
ainsi complètement démontré.
Paris, le 13 de juillet 1818.