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CONSÉCUTIVES.
![{\displaystyle \operatorname {d} \beta +{\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e3df2e1e7b56a982c9544aacd367b7d142908)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} \beta .{\frac {R+2r}{2r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372dffbaa41005610730a3603b60261fabe273aa)
Le point
s’est déplacé, dans le sens du cercle fixe
de
pour avoir ce déplacement, mesuré perpendiculairement à la
normale, on le multipliera par
ou par
ce qui fera
Or, à la limite, ce même déplacement est égal à
multiplié
par l’angle des deux normales ; on a donc,
![{\displaystyle {\overline {\rm {PN}}}.\operatorname {d} \beta {\frac {R+2r}{2r}}=\operatorname {d} \beta .{\frac {R}{2r}}.{\overline {\rm {MP}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4629c7188b6ab5326ae62eb085f0902262c12cc3)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\overline {\rm {MP}}}{\overline {\rm {NP}}}}={\frac {R+2r}{2r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b4f939b67cfaa5700e6156f3622c94b86b7422)
Il est facile de conclure du rapport constant des deux lignes
que, si l’on décrit, au-dessous du cercle générateur, un
autre cercle, dont le diamètre soit à celui du premier dans le rapport
c’est-à-dire, dans le rapport des distances au centre
le
point
de la développée se trouvera toujours sur ce cercle ; et
comme l’arc
sera toujours égal à
le point
décrira
une nouvelle épicycloïde semblable ; mais réduite, dans le rapport
On peut aisément se convaincre, d’après cela, que cette
propriété identifie l’épicycloïde avec la courbe limite de notre théorème ; car, en désignant par
l’arc
et par
l’angle décrit
par la normale ou la tangente, on aura
![{\displaystyle {\rm {AN}}=S={\rm {MN={\overline {\rm {QS}}}\operatorname {Sin} .\alpha \,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f27ba70e3c90341a4bf6afbc0133ee5d241139a)
mais
et
est précisément la courbe totale
en
l’appelant donc
on a