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CONSÉCUTIVES.
La loi de ses développemens se trouve suffisamment établie, par les
équations même qui ont servi à les obtenir : on passe d’un arc
de numéro pair au suivant, en intégrant à partir de
et de
ce dernier à l’arc de numéro pair qui vient après, en retranchant
une intégrale semblable du terme correspondant de la suite
![{\displaystyle \phi \Sigma _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dd21367e5c2b60050c820239322ead45e32639)
![{\displaystyle \phi \Sigma _{3},\phi \Sigma _{5},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d39131605858fbc5e032b7500f274406f4c684)
Comme les développantes de numéros impairs
entrent seules avec les intégrales successives
![{\displaystyle \int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a67c6964f7c614afc1799c084788d2963f38b15)
dans les expressions de tous ces arcs, nous allons examiner seulement comment varient ces développantes. Comme
n’est autre
chose que la valeur de
qui répond à l’arc
il s’ensuit
qu’on doit avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma _{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\&\Sigma _{3}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\&\Sigma _{5}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\Sigma _{2n+1}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{2n-1}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{2n-3}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}}\Sigma _{2n-5}-\ldots \pm {\frac {\omega ^{2n}}{(2n)!}}\Sigma \mp \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247e5158b94ffe4ff53280b03f136ab8f2157bdd)
Pour avoir le développement du terme général
après qu’on
en a éliminé tous ceux
qui le précèdent,
soient multipliées ces équations, excepté la dernière, par des coefficiens
et formons-en la somme,
en égalant à zéro les quantités qui multiplient
![{\displaystyle \Sigma _{2n-1},\Sigma _{2n-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d05527148113c421966bbc51d2b1ec741ee4a6)
nous aurons ainsi
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
les coefficiens
étant déterminés par les
équations