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DES DÉVELOPPANTES
pans les uns des autres ; et soit
l’angle que fait la tangente
au point
avec la tangente
au point
Soient enfin
les longueurs totales des développantes
Nous aurons d’abord, comme dans le précédent théorème,
![{\displaystyle S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394d9ab17d35f584d9f88798160271bcb5617ed7)
l’intégrale s’éyanouissant avec
On aurait de même
![{\displaystyle S_{2}=\int {\overline {\rm {M_{1}A_{2}}}}.\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82e6e55dda0f88e46b481c70e2fcb845d2ec3ae)
mais
donc
![{\displaystyle S_{2}=\int \left(\Sigma _{1}-S_{1}\right)\operatorname {d} \phi =\Sigma _{1}\phi -\int S_{1}\operatorname {d} \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c99bbd46d597c215926128628c0e97286bf2efe)
Ces valeurs de
indiquent, en général, comment on peut
passer d’une développante à la suivante ; et l’on voit qu’on peut poser
cette suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int S_{1}\operatorname {d} \phi ,\\S_{3}=\int S_{2}\operatorname {d} \phi ,&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-\int S_{3}\operatorname {d} \phi ,\\S_{5}=\int S_{4}\operatorname {d} \phi ,&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-\int S_{5}\operatorname {d} \phi ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c3e477cdf3828e8ec82f43a6cb88c558e7ca84)
Si l’on fait les substitutions, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{1}+\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},\\S_{5}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{3}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}\Sigma _{1}-\int ^{6}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{6},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7a73cce8830215916e3d50524c507d5c9aba26)