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PARALLÉLOGRAMME

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

l’on peut parvenir au but d’une manière incomparablement plus simple et plus élégante, à l’aide du seul principe des projections ; mais afin d’introduire à cette recherche par une recherche analogue, mais beaucoup plus facile, nous résoudrons d’abord les questions du même genre, relativement au parallélogramme.

I. Soient $A,B$ les deux côtés d’un même angle d’un parallélogramme quelconque ; et soit $\Delta$ la diagonale qui joint le sommet de cet angle au sommet opposé ; soient, en outre,

$\operatorname {Ang} .(A,B)=c,\quad \operatorname {Ang} .(A,\Delta )=x,\quad \operatorname {Ang} .(B,\Delta )=y.$

On peut parvenir d’une extrémité à l’autre de la diagonale $\Delta ,$ en cheminant extérieurement sur deux côtés consécutifs, égaux et parallèles à $A,B\,;$ d’où il suit que la projection de la diagonale $\Delta$ sur une droite quelconque est égale à la somme des projections des côtés $A,B$ sur la même droite. Projetant donc successivement cette diagonale sur les directions même des côtés $A,B,$ nous aurons

$\left.{\begin{aligned}\Delta \operatorname {Cos} .x=&A+Bx\operatorname {Cos} .c,\\\Delta \operatorname {Cos} .y=&B+Ax\operatorname {Cos} .c\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad (1)$

mais, d’un autre côté, en projetant sur la diagonale $\Delta$ les deux côtés par lesquels on chemine de l’une à l’autre de ses extrémités, on aura

$\Delta =A\operatorname {Cos} .x+B\operatorname {Cos} .y\,;\qquad$(2)

multipliant cette dernière équation par $\Delta ,$ et remplaçant ensuite $\Delta \operatorname {Cos} .x,\ \Delta \operatorname {Cos} .y$ par les valeurs que donnent les équations (1), il viendra, en extrayant la racine quarrée,

$\Delta ={\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\operatorname {Cos} .c}}\qquad$(3)

les équations (1) donneront ensuite