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THÉORIE GÉNÉRALE
fera à la condition de convergence, pourvu qu’on le pousse assez loin.
Si l’on transforme cette expression en une autre dont tous les
termes soient positifs, d’après les formules trouvées ci-dessus, on
obtiendra
![{\displaystyle {\cfrac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{2-x^{2}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{4-x^{2}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{6-x^{2}+\ldots }}}}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5baa36115b29c480838b3dfb519b3e7fa18a7d9d)
d’où il suit que, pourvu que l’on prenne
ou
cette fraction continue convergera, à partir de l’origine, vers la
véritable valeur de
dans tout autre cas, elle finira toujours
par être convergente, pourvu qu’on la prolonge suffisamment.
Soit
nous aurons
et notre formule deviendra
![{\displaystyle {\frac {4}{\varpi }}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{3-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{5-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{7-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{9-\ldots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccf06de9f04eca1973c6191c930118d60e4762e)
Nous savons qu’on
soit donc, s’il est possible,
et
étant deux nombres entiers premiers entre eux, tels que
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle {\frac {n}{m}}=1-{\cfrac {n^{2}}{3m^{2}-{\cfrac {n^{2}}{5-{\cfrac {n^{2}}{7m^{2}-{\cfrac {n^{2}}{9-{\cfrac {n^{2}}{11m^{2}-\ldots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfa29223051258a893316764707dcf137b20eec)
or, cette équation est absurde, car son second membre est une fraction continue qui, ne se terminant pas et étant convergente,
en la prolongeant suffisamment, doit avoir une valeur incommensurable, tandis que son premier membre est une fraction rationnelle ;