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THÉORIE GÉNÉRALE

${\begin{alignedat}{3}C&=BA'-AB',&\quad C'&=BA''-AB'',&\quad C''&=BA'''-AB''',\ldots ,\\D&=CB'-BC',&D'&=CB''-BC'',&D''&=CB'''-BC''',\ldots ,\\E&=DC'-CD',&E'&=DC''-CD'',&E''&=DC'''-CD''',\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

que l’on conclut des équations ci-dessus, en y chassant les dénominateurs ; et exprimant ensuite qu’elles sont identiques.

Si les deux termes de la fraction valeur de $y,$ au lieu de procéder suivant les puissances de $x,$ procédaient suivant celles de $x^{n},$ il ne s’agirait que d’y traiter $x^{n}$ ainsi que nous venons de traiter $x$ dans le développement général ; et si une puissance de $x$ se trouvait être facteur soit du numérateur soit du dénominateur, on la ferait préalablement passer soit comme diviseur soit comme multiplicateur de $y,$ ce qui ramènerait la question au premier cas.

Pour premier exemple, prenons la fonction

$\operatorname {Tang} .x={\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots }{1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots }}\,;$

nous écrirons d’abord

${\frac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\frac {1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-\ldots }{1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots }}\,;$

traitant alors $x^{2}$ comme $x,$ dans le second membre, il viendra

${\begin{alignedat}{5}A&=1,&\quad A'&=-{\frac {1}{2!}},&\quad A''&=+{\frac {1}{4!}},&\quad A'''&=-{\frac {1}{6!}},&\quad A''''&=+{\frac {1}{8!}},\ldots \\\\B&=1,&B'&=-{\frac {1}{3!}},&B''&=+{\frac {1}{5!}},&B'''&=-{\frac {1}{7!}},&B''''&=+{\frac {1}{9!}},\ldots \end{alignedat}}$