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DES FRACTIONS CONTINUES.
![{\displaystyle a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''}}}}>a-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb82ec0a058576520cfc7bf332b541288c7a39)
et, par suite ;
![{\displaystyle {\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''}}}}}}<{\cfrac {b}{a-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d303eacc2a24e1bf63f9cf13b6c22e74f54548d)
d’où on conclura, comme ci-dessus,
![{\displaystyle {\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''}}}}}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03c4432b8a3d0664546bd48f0d2f8c47d56188c)
En continuant ainsi, de proche en proche, on parviendra à se convaincre que les portions de développement
![{\displaystyle {\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+\ldots }}}}}},{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {b'''}{a'''+\ldots }}}}}},{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {b'''}{a'''+{\cfrac {b''''}{a''''+\ldots }}}}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4508e939eb16e436e80c0fbc982692a2d75dae86)
sont toutes moindres que l’unité.
Il est pourtant un cas qui fait exception : c’est celui où l’on aurait précisément
c’est-à-dire le cas où la fraction continue serait
![{\displaystyle {\cfrac {a-1}{a-{\cfrac {a'-1}{a'-{\cfrac {a''-1}{a''-{\cfrac {a'''-1}{a'''-\ldots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f67041c96015652834f8876b091d9d2ee25842)
et où, prolongée à l’infini, elle tendrait sans cesse vers l’unité ; dans tout autre cas, elle sera constamment plus petite.
En appliquant présentement ce que nous venons de démontrer
à la suite des équations (2), en voit que, si l’on a constamment, abstraction faite des signes,