376
FORMULES
![{\displaystyle y=a+x\Delta a+x(x-1)\Delta ^{2}a+x(x-1)(x-2)\Delta ^{3}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1cb0f69c7f7009322e636500542da2e6d4f88c)
![{\displaystyle +x(x-1)(x-2)(x-3)\Delta ^{4}a+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cb9a2196c7d7a0a131f3514d85a1475bf301fc)
de sorte qu’il s’agira d’intégrer
![{\displaystyle y\operatorname {d} x=a\operatorname {d} x+x\operatorname {d} x.\Delta a+x(x-1)\operatorname {d} x.\Delta ^{2}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79625b17bfd937581fba70f60e4a0d79ed8fecd)
![{\displaystyle +x(x-1)(x-2)\operatorname {d} x.\Delta ^{3}a+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828d396a71de5025ee57aec4906a0f54b1240dc3)
depuis
jusqu’à ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
8. Procédant donc à l’intégration, et observant que l’intégrale
doit s’évanouir en même temps que
, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int y\operatorname {d} x&=a.x\\&+\Delta a.{\frac {x^{2}}{2}}\\&+\Delta ^{2}a\left({\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\\&+\Delta ^{3}a\left({\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {3x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{2}}{2}}\right)\\&+\Delta ^{4}a\left({\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {6x^{4}}{4}}+{\frac {11x^{3}}{3}}-{\frac {6x^{2}}{2}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e04e7d479fe5bd4f384cbdf79c6cf6c5a90cac)
résultat dans lequel il faudra supposer ensuite ![{\displaystyle x=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4769088dc0baaf745ece93c891c08d584b2e3c3c)
9. Mais il est clair qu’en rendant
fois plus grand l’intervalle
entre les ordonnées consécutives, on a aussi, rendu
fois plus
grande l’aire de la courbe à quarrer, c’est-à-dire, l’intégrale demandée ;
d’où il suit que la véritable valeur de cette intégrale n’est
gue la n.me partie de celle que nous venons de lui assigner ; c’est-à-dire
qu’elle est égale à cette intégrale divisée par
, et prise
ensuite jusqu’à
En posant donc, pour abréger,