304
THÉORÈMES ET PROBLÈMES
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d\ ^{2}=c'c''.{\frac {(c+c'+c'')(c'+c''-c)}{(c'+c'')^{2}}},\\\\&d'\,^{2}=c''c.{\frac {(c+c'+c'')(c''+c-c')}{(c''+c)^{2}}},\\\\&d''^{2}=cc'.{\frac {(c+c'+c'')(c+c'-c'')}{(c+c')^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d92b90a4fcac66023ea8dbb320fd61b9be48b9)
prenant donc la racine quarrée du produit de ces trois équations
il viendra
![{\displaystyle {\frac {dd'd''}{cc'c''}}={\frac {(c+c'+c''){\sqrt {(c+c'+c'')(c'+c''-c)(c''+c-c')(c+c'-c'')}}}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144fce91fe49fc78ba3861501f1a14c2f8a62aae)
(1)
équation qui donne, sous une forme élégante, le produit des
droites qui divisent les angles d’un triangle en deux parties égales,
en fonction des côtés de ce triangle.
On peut simplifier cette équation en remarquant que le radical du
second membre est le quadruple de l’aire du triangle. En représentant ainsi cette aire par
il vient
![{\displaystyle {\frac {dd'd''}{cc'c''}}={\frac {4(c+c'+c'')T}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5ad1f4937a54eac5a13ca78b9be1caa214d619)
(2)
On peut, dans cette dernière expression, introduire le rayon du
cercle circonscrit ; on sait, en effet, qu’en représentant ce rayon
par
on a
ce qui donne, en substituant,
![{\displaystyle dd'd''={\frac {16(c+c'+c'')RT^{2}}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05283f92fb7a628449c4d8852c88afbc92c7c24)
(3)
Si l’on veut y introduire, au contraire, le rayon du cercle inscrit, en le désignant par
il suffira de se rappeler que
ce qui donnera