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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
qui, partant de ses sommets, divisent ses angles en deux parties
égales. Suivant un théorème connu (voyez la Géométrie de M. Legendre) ; on aura
![{\displaystyle {\rm {AA'.AA''={\overline {AB}}^{2}+A'B.A''B\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50ba9e62f9ddaef4db262b010a2fb833196170f)
on aura de plus, par un autre théorème connu ;
![{\displaystyle {\rm {AA':AA''::A'B:A''B,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ba3b931a7112fa7cad779809a559118f63f4bb)
et par suite
![{\displaystyle {\rm {AA'+AA'':A'B+A''B::AA':A'B::AA'':A''B\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd59e8335706f1f0c8d68be0d3bd052bcc08738)
ou
![{\displaystyle {\rm {AA'+AA'':A'A''::AA':A'B::AA'':A''B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ae470387d0bc8058fc6fe588df7d7282f94073)
de cette double proportion on tirera
![{\displaystyle {\rm {A'B={\frac {AA'.A'A''}{AA'+AA''}},\qquad A''B={\frac {AA''.A'A''}{AA'+AA''}}\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9554dd145715e80daaa603148235fcea98dfb4)
substituant ces deux valeurs dans la première équation
on en tirera
![{\displaystyle {\rm {{\overline {AB}}^{2}=AA'.AA''-{\frac {AA'.AA''.{\overline {A'A''}}^{2}}{(AA'+AA'')^{2}}}\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23019d9fd2b5152462bfbdbd6d6804e7e1e56c5)
ou encore
![{\displaystyle {\rm {{\overline {AB}}^{2}=AA'.AA''.{\frac {(AA'+AA'')^{2}-{\overline {A'A''}}^{2}}{(AA'+AA'')^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43aa24a774707ab981e4c56e310b33e3d5063314)
![{\displaystyle {\rm {=AA'.AA''.{\frac {(AA'+AA''+A'A'')(AA'+AA''-A'A'')}{(AA'+AA'')^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fd28d34e884eb233cd24563ce7096324053a77)
Cela posé, désignons simplement par
les trois côtés
d’un triangle et par
les droites qui, divisant ses angles
en deux parties égales, se terminent aux côtés opposés ; nous aurons, par ce qui précède