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THÉORÈMES ET PROBLÈMES
![{\displaystyle {\rm {{\frac {AA'}{BB''}}={\frac {CA}{BC}},\qquad {\frac {BB'}{CC''}}={\frac {AB}{CA}},\qquad {\frac {CC'}{AA''}}={\frac {BC}{AB}}\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006169e0978eef5f27003c658ebb74c3cdfc72c1)
ce qui donne, en multipliant,
![{\displaystyle {\rm {{\frac {AA'.BB'.CC'}{AA''.BB''.CC''}}=1,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cee57e7d3f425fdfeb2dc01a4d98bf680b67a67)
ou
![{\displaystyle {\rm {AA'.BB'.CC'=AA''.BB''.CC'',}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a190514bc7140e8d1cc8b82be2a665d4d3642f6c)
et démontre ainsi la première partie de la double égalité ci-dessus.
Par la même construction, les droites
sont respectivement parallèles aux droites
d’où, il résulte
que les triangles
sont respectivement semblables aux triangles
![{\displaystyle {\rm {C}}a{\rm {{A},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4712ea00a37c2e8d39db6dc79f8cc859bca6c3f0)
et qu’ainsi on a
![{\displaystyle {\frac {\rm {BB'}}{{\rm {A}}a}}={\rm {{\frac {CB'}{CA}},\qquad {\frac {\rm {AA'}}{{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BA'}{BC}},\qquad {\frac {\rm {CC'}}{{\rm {B}}b}}={\rm {{\frac {AC'}{AB}}\,;}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e8d9595cfcc7b1175aff2714575d5d63507b09)
ce qui donne, en multipliant
![{\displaystyle {\frac {\rm {AA'.BB'.CC'}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BA'.CB'.AC'}{AB.BC.CA}},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade2c79d0cd525b101bcd6272955fed7b52efab5)
mais, d’après la construction, on a
![{\displaystyle {\rm {BA'=BC+CA,\qquad CB'=CA+AB,\qquad AC'=AB+BC\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2568c14c286b01b6b6041603dc85818d1685e008)
donc enfin
![{\displaystyle {\frac {\rm {AA'.BB'.CC'}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BC+CA}{AB}}.{\frac {CA+AB}{BC}}.{\frac {AB+BC}{CA}}\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e87558cf9c286a9f25f85e276c97c67b615d075)
ce qui démontre la seconde partie de notre double égalité.
Soient
respectivement, les points où les côtés
![{\displaystyle {\rm {A'A'',A''A,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f94149e078aa5792dfba8945657cd74ae923d64)
d’un triangle
sont rencontrés par les droites