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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
notre théorème, et en même temps le théorème LIV de l’ouvrage
de M. Brianchon. Il est clair, d’ailleurs, qu’on pourrait faire le
même raisonnement sur l’intersection des deux diagonales du quadrilatère simple qui, ayant
pour l’un de ses côtés, a aussi
son opposé sur
et qu’ainsi cette intersection doit se confondre
avec le point
qui se trouve ainsi l’intersection des quatre diagonales de deux quadrilatères simples et d’une parallèle à
conduite par
On démontrerait évidemment des choses analogues des
points
Quant à la seconde partie du théorème, on voit que
les trois points
appartenant avec le point
à la section
conique qui touche à la fois les quatre droites
il résulte de l’article XXIII de l’ouvrage cité que deux quelconques de ces trois points sont toujours en ligne droite avec un
des trois points
THÉORÈME. Si l’on prolonge, dans un même sens, les trois côtés d’un triangle
des quantités
respectivement égales aux côtés consécutifs
que l’on prolonge les mêmes côtés en sens inverse, des quantités
respectivement égales aux côtés consécutifs
; que l’on mène les six droites ![{\displaystyle {\rm {AA',BB',CC',AA'',BB'',}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67a9187aaa74028db065e30830a9c5a87b4ebec)
et qu’enfin on mène les trois droites
divisant les angles du triangle en deux parties égales, et se terminant en
aux côtés opposés, on aura
![{\displaystyle {\frac {\rm {AA'.BB'.CC'}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\frac {\rm {AA''BB''.CC''}}{{\rm {A}}a.{\rm {B}}b.{\rm {C}}c}}={\rm {{\frac {BC+CA}{AB}}.{\frac {CA+AB}{BC}}.{\frac {AB+BC}{CA}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e13bc2846c1d5a2615576e08620804ac5e4ce49)
Démonstration. Par la construction (fig. 5), les droites
sont respectivement parallèles aux droites
d’où il résulte que les triangles
sont
respectivement semblables aux triangles
et
qu’ainsi on a