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THÉORÈMES ET PROBLÈMES DE GÉOMÉT.e ÉLÉM.e
THÉORÈME. Soient les trois sommets d’un triangle ;
et ses trois hauteurs, se coupant, comme l’on
sait, en un même point on aura cette suite de rapports égaux
Démonstration. Les triangles
sont respectivement semblables aux triangles
En divisant l’une par l’autre, les deux premières suites d’égalités, on aura
le triangle est donc semblable au triangle ses hauteurs
doivent donc être proportionnelles aux hauteurs de celui-là, on doit donc avoir
d’où
ce qui fournit une construction assez élégante. Au surplus, la construction
peut être réduite à ce qui suit :
Avec les trois hauteurs données, prises pour côtés, formez un triangle, dont vous menerez les trois hauteurs ; avec ces trois nouvelles hauteurs, prises également pour côtés, formez un second triangle, dont vous menerez une seule hauteur quelconque ; et prolongez-la au-dessous de la base, de manière qu’elle devienne égale à la hauteur correspondante du triangle cherché. En menant, par l’extrémité de ce prolongement, une parallèle à la base, elle formera, avec les deux outras côtés prolongés, le triangle demandé.
J. D. G.