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DE TOUS LES ORDRES.
points fixes de la ligne du 3.e ordre seront les quatre points communs
à toutes les lignes du second ordre auxquelles les changements de
direction des diamètres conjugués arbitraires pourront donner naissance.
Démonstration. Soient pris pour origine le centre de la ligne du
second ordre, pour axe des
le diamètre de cette courbe tangent
à la ligne de l’ordre
et pour axe des
le conjugué de ce
diamètre.
Pour que l’axe des
soit une tangente à une courbe ayant son
point de contact à l’origine, il est nécessaire et il suffit que l’équation de cette courbe ne renferme ni le terme tout connu ni le terme
du premier degré en
; afin qu’en
posant
elle devienne
divisible par
.
Ainsi, d’après les conventions énoncées ci-dessus,
l’équation de notre ligne de l’ordre
ne saurait être que de la
forme suivante :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}ax^{m}&\\+(a'+b'y)x^{m-1}&\\+\left(a''+b''y+c''y^{2}\right)x^{m-2}&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\+\left(p''+q''y+r''y^{2}+\ldots +t''y^{m-2}\right)x^{2}&\\+\left(q'y+r'y^{2}+s'y^{3}+\ldots \ldots +u'y^{m-1}\right)x\ \ &\\+\left(y+ry^{2}+sy^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +vy^{m}\right)\quad &\\\end{aligned}}\right\}=0.\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9a88e08e17f6dd8f623c0a610e43d5bc7c9129)
En y faisant
et divisant par
l’équation résultante
![{\displaystyle ax^{m-2}+a'x^{m-3}+a''x^{m-4}+\ldots +p''=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2809f44482c52861fdaf0bcdd52ec31e5802a2f7)
(2)
sera celle des parallèles menées à l’axe des
par les
points
où la tangente à l’origine, c’est-à-dire, l’axe des
, coupe la
courbe (1).