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D’ALGÈBRE.
comme nous l’avions annoncé. Il est donc prouvé, par ce qui
précède, que, si la loi dont il s’agit se soutient jusqu’à un terme
quelconque du produit, elle aura lieu également pour le terme
qui le suivra immédiatement ; puis donc que nous nous sommes
assurés de son existence pour les quatre premiers termes, il s’ensuit
qu’elle a lieu pour tous, et qu’ainsi le théorème est démontré en
toute rigueur.
Pour abréger, désignons par
notre première série, c’est-à-dire, posons
![{\displaystyle \operatorname {f} a=1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b52d5a614afab847e76df8b44b10b2cb3d2126f)
nous aurons pareillement
![{\displaystyle \operatorname {f} b=1+b{\frac {z}{1}}+b(b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+b(b+k)(b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1753830f53262219c384cb18c6149d49dfc7aee)
et encore
![{\displaystyle \operatorname {f} (a+b)=1+(a+b){\frac {z}{1}}+(a+b)(a+b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f626ccfb301330ac655415c90712cd48d04d99)
en conséquence, le théorème qui vient d’être démontré pourra être
écrit sous cette forme très-simple
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} b=\operatorname {f} (a+b).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2810d03a54e1fd51d3da4bb91a8cf6cadabdc95f)
(I)
On remarquera que, d’après cette notation, on doit évidemment
avoir ![{\displaystyle \operatorname {f} 0=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c5fcac6294505cbf2a014d1146144295b52baf)
Si dans l’équation (I) on change
en
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {f} a.\operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} (a+b+c)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14b5b7790751a77c8e93ac2f19ddef8cedebca0)
mais, en vertu de là même équation
![{\displaystyle \operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} b.\operatorname {f} c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7869e2f0529147d0a503685bf09bfc50122c1bb7)
substituant donc, on aura