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THÉORÈMES
![{\displaystyle 1+(a+b){\frac {z}{1}}+(a+b)(a+b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+(a+b)(a+b+k)(a+b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4badee9bac58211ea6217873a4a632755db57c7a)
Pour y parvenir, assurons-nous d’abord de la forme des premiers
termes du développement de ce produit ; nous trouverons, pour
ces premiers termes
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}1+c&\\+b&\\\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}{\frac {z}{1}}+a(a+k)&\\+\ \qquad 2ab&\\+\ b(b+k)&\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}{\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k)&\\+\ \ \ \qquad 3ab(a+k)&\\+\ \ \ \qquad 3ab(b+k)&\\+\ b(b+k)(b+2k)&\\\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}{\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f0a962daacc92c765ea1eb9858a4cfecf6ccff)
On voit d’abord que le coefficient de
est
Celui de
peut
se décomposer en ces deux parties
![{\displaystyle a\left[(a+k)+b\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff841de98d358bf00891bf8bffcd9400714a961e)
ou
![{\displaystyle \quad a(a+b+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d851117a5add492943747bd0ad4c10c1c38f8fd)
![{\displaystyle b\left[(b+k)+a\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433b680b5538b906eebb3d6ebc2dbe3984708e46)
ou
![{\displaystyle \quad b(a+b+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f12266e76acaccb953d32cb30e9302c82310fd1)
dont la somme sera conséquemment
![{\displaystyle (a+b)(a+b+k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a53aff967981c6cb2e2eb3f40184dacdd0a02b)
Le coefficient de
peut également se décomposer en ces deux parties