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RÉSOLUES.

${\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=gr\left(\operatorname {Sin} .^{2}\phi +{\tfrac {2}{3}}\operatorname {Cos} .^{2}\phi \right)\operatorname {Cos} .\phi \,;$

ce qui donnera, pour la vitesse verticale,

$\mathrm {v} ={\sqrt {2gr\left(\operatorname {Sin} .^{2}\phi +{\frac {2}{3}}\operatorname {Cos} .^{2}\phi \right)\operatorname {Cos} .\phi }}.$

Quant à la force accélératrice, comme le corps n’a pas de mouvement effectif dans ce sens, c’est une preuve que le centre de gravité avance autant dans un sens, par le mouvement progressif, qu’il recule dans l’autre par le mouvement de rotation ; et, comme le premier de ces mouvemens est le même pour toutes les molécules du corps, il s’ensuit que, pour chaque molécule, on a, pour la force accélératrice horizontale ;

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=g\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi \,;$

multipliant par $\operatorname {d} x=R\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\phi$ et intégrant, on a

${\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=R^{2}g\operatorname {Cos} .^{3}\phi +C'.$

Il est d’ailleurs évident que le mouvement progressif s’exécutera dans un sens opposé à celui du mouvement de rotation.

D’après le principe de la conservation des forces vives, on doit avoir, pour un point quelconque

${\frac {\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} x^{2}}{2\operatorname {d} t^{2}}}=gy,$

ce qui est conforme aux valeurs trouvées pour $\operatorname {d} y^{2},\operatorname {d} x^{2}.$