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PROBLÈME

Ensuite les mêmes théorèmes donnent généralement, pour $k$ entier et positif,

\Delta ^{k}y=(\operatorname {E} -1)^{k}y=\operatorname {E} ^{k}y-k\operatorname {E} ^{k-1}y+{\frac {k}{1}}.{\frac {k-1}{2}}\operatorname {E} ^{k-2}y-\ldots \pm y\,;

(24)

\operatorname {d} ^{k}y=\left\{(\operatorname {E} -1)-{\frac {1}{2}}(\operatorname {E} -1)^{2}+\ldots \pm {\frac {1}{k}}(\operatorname {E} -1)^{k}\right\}^{k}y\,;

expressions qui, après développement, ne contiennent linéairement que les états variés de différens ordres. D’ailleurs (4), l’intégrale $\Sigma ,$ et par conséquent les expressions $T,R$ se résolvent immédiatement en états variés linéaires. On aperçoit au reste que ces substitutions dans nos séries doivent conduire finalement au même résultat. Ce qu’il y aura de plus facile pour y parvenir sera donc de choisir la série qui exigera la formule de substitution la moins compliquée. Or, telle est la formule (23), dans laquelle on substituera, en états variés, les valeurs de $\Delta \nu ,\Delta ^{2}\nu ,\ldots \Delta ^{n}\nu ,$ d’après la simple formule (24). Ce procédé est exactement celui qu’a suivi M. Kramp, dans le mémoire cité (Annales, tom. VI, pag. 372) et d’après lequel il présente la tableau des expressions de $Z$ en coordonnées équidistantes, pour les valeurs du nombre $n$ (qu’il appelle Diviseur) depuis $1$ jusqu’à $12$ inclusivement. On peut assujettir ce procédé à des lois analitiques qui permettent d’offrir des formules pour calculer immédiatement, dans le cas général de $n$ entier et positif quelconque, les coefficiens des ordonnées $\nu ,\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E} ^{2}\nu ,\ldots$ . Je place ici ces détails d’autant plus volontiers que ce sont peut-être des formules de cette espèce que réclame l’habile géomètre, quand il dit (tom. VII, pag. 243) ; « J’aurai été plus loin que $12,$ si la longueur présumée des calculs ne m’avait effrayé. J’observai, au surplus, qu’il devait inévitablement y avoir quelque méthode beaucoup plus abrégée, pour parvenir au même but, dans tous les cas ».

La formule (5) développée devient, après le changement de $x$ en $a,$