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DES QUADRATURES.
![{\displaystyle \operatorname {d} y=\operatorname {Log} .(1+\Delta )y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2165ff4580640c2937bf2502446fba81d901f64c)
(3)
![{\displaystyle \Delta ^{-1}y=\Sigma y=(\operatorname {E} -1)^{-1}y=\operatorname {E} ^{-1}y+\operatorname {E} ^{-2}y+\operatorname {E} ^{-3}y+\ldots +K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4f7d1e3077f7d74603d5a73d3633172caef62)
![{\displaystyle =\left(e^{d}-1\right)^{-1}y+K,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beba8b9961abe23d0825957c950ee8f586131483)
(4)
![{\displaystyle \operatorname {d} ^{-1}y={\frac {1}{\omega }}\int y\operatorname {d} x=\left\{\operatorname {Log} .(1+\Delta )\right\}^{-1}y+K,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dbe868f9336dc214db16ee8300822daa01439a)
(5)
est, à l’ordinaire, la base du système de logarithmes Népérien,
et
une quantité uniquement assujettie à satisfaire à la condition
.
De (4) on conclut, sur-le-champ, par le développement de l’expression
la série
![{\displaystyle \Sigma y=\left\{\operatorname {d} ^{-1}-{\frac {1}{2}}\operatorname {d} ^{0}+{\frac {B_{1}}{1.2}}\operatorname {d} -{\frac {B_{2}}{1.2.3.4}}\operatorname {d} ^{3}+\ldots \right\}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5454b4d20bc7b7a529b1fb31ef27e06da01bcb)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\int y\operatorname {d} x-{\frac {1}{2}}y+{\frac {\omega B_{1}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\omega ^{3}B_{2}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}+{\frac {\omega ^{5}B_{3}}{1.2\ldots 6}}{\frac {\operatorname {d} ^{5}y}{\operatorname {d} x^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8589dff43b68434e02d6aa70bf7b94123c035025)
![{\displaystyle -\ldots +K\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4ff5ac48b3580b67d39a4d7e435e370cf1204e)
(6)
où les coefficiens
![{\displaystyle B_{1}={\frac {1}{6}},\qquad B_{2}={\frac {1}{30}},\qquad B_{3}={\frac {1}{42}},\qquad B_{4}={\frac {1}{30}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72b03a3059bc0085c871a819f28d6b428fe0025)
sont ce qu’on appelle les Nombres de Bernouilli : ils sont aussi
ceux de l’équation identique
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\omega \operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}\omega ={\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}+{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}+{\frac {\omega ^{6}B_{3}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b715d5412658894355f5677f8e1b0ffd4f1dd5)
(7)
Je suppose
positif, et qu’une de ces valeurs antécédentes
soit
à laquelle répond
Je fais
d’où
Soient
deux abscisses extrêmes positives d’une courbe plane,
ayant pour ordonnées rectangulaires correspondantes
après
avoir divisé l’intervalle entre ces ordonnées en
parties égales chacune à
et imaginé, par chaque point de division, les ordonnées