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RÉSOLUES.
![{\displaystyle X=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}\right)=-2p,\qquad Y=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}\right)=2y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4c1444032e07cf263f0f8b0fb5f31e6709e651)
en conséquence, les équations du problème seront
![{\displaystyle {\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\y'^{2}=2px',\qquad {\text{(II)}}\qquad y''^{2}=2px''&{\text{(III)}}\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-x''y')=0,&{\text{(IV)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957b15ceda4ff5a23c37f266448d7389444b9158)
![{\displaystyle \left(p^{2}a-y'y''\right)(x'-x'')+p(x'-x'')(x'y'-x''y'')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef044d8a9088c00e9086dc4165a5107da33b1228)
![{\displaystyle p(y'-y'')\left[(x'-x'')x+(y'-y'')y\right].\quad \mathrm {(V)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7812450b73f82c9bb506004fb562efa7946fab)
Si, au moyen des équations (II, III), on élimine
et
des trois autres, elles deviendront
![{\displaystyle (y'-y'')^{2}\left[4p^{2}+(y'+y'')^{2}\right]=16c^{2}p^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359374d651788faa40e44dc85fd75802f339521b)
![{\displaystyle y'y''-y(y'+y'')+2px=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ae33a5de74399523df8341ceb1644cabe37bdf)
![{\displaystyle (y'+y'')\left\{y'^{2}-y'y''+y''^{2}+2p(p-x)\right\}=8p^{2}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f2291eb32acd7b404ee9222fced154a91b9356)
posant
![{\displaystyle y'+y''=t,\qquad y'y''=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dd7040f0179ce5d522b2d2b83c689d427caee9)
d’où
![{\displaystyle (y'-y'')^{2}=t^{2}-4u,\qquad y'^{2}-y'y''+y''^{2}=t^{2}-3u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba44181887b46fd00d2eae4c066c641b1294552a)
on aura ainsi, en substituant
![{\displaystyle \left(t^{2}-4u\right)\left(t^{2}+4p^{2}\right)=16c^{2}p^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826b3f281255ce3b0dbcc73db82fb8c72f170d29)
![{\displaystyle u-yt+2px=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82830334ae99f847be11a305dc1dfa11a4c4f47)
![{\displaystyle t\left[t^{2}-3u+2p(p-x)\right]=8p^{2}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0678f6abacf329ef6fabc9bb14e11173b4ded62)
mettant dans la première et la troisième la valeur de
tirée de la seconde, il viendra
![{\displaystyle t^{4}-4yt^{3}+4p(2x+p)t^{2}-16p^{2}yt+16p^{2}\left(2px-c^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf06c3bc429e2bb6c3f32177ddc7530868d30db)
![{\displaystyle t^{3}-3yt^{2}+2p(2x+p)t-8p^{2}y=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e9dd493038e74c34bcbe676fa77cd2baf75044)
équations entre lesquelles il n’est plus question que d’éliminer
mais il est aisé de voir que l’équation finale pourra monter au 8.me degré.