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RÉSOLUES.
![{\displaystyle 2yu+a^{2}x=a^{2}t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333c20ddabbfa27a50a19e1d1bb1ce70d832b43c)
![{\displaystyle 2tu(2xu-ay)=\left(t^{2}-2u\right)\left(4u^{2}-a^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d8545bdebfa3214e63f1b963c1fa941fcbda4c)
et la question sera réduite à éliminer
et
entre ces trois équations.
Tirant donc de la seconde valeur de
pour la substituer dans les deux autres, elles deviendront
![{\displaystyle 16y^{2}u^{4}+16a^{2}\left(xy-a^{2}\right)u^{3}+4a^{4}\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)u+4a^{6}\left(xy-a^{2}\right)u+a^{8}x^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fbcd5e99ddf18fe109b7b047cbf5539b928230)
![{\displaystyle 16y^{2}u^{4}+8a^{2}\left(xy-a^{2}\right)u^{3}-2a^{6}\left(xy-a^{2}\right)u-a^{8}x^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd86c040f7a6b22804ffbfef0559799a8317b5f7)
mettant, pour abréger,
pour
elles se changeront en celles-ci
![{\displaystyle y^{2}v^{4}+2\left(xy-a^{2}\right)v^{3}+\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)v^{2}+2\left(xy-a^{2}\right)v+x^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7faa96a966b820ffda1c68c29412227ad42137f7)
![{\displaystyle y^{2}v^{4}+\left(xy-a^{2}\right)v^{3}-\left(xy-a^{2}\right)v-x^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bec198662fe65bdd29c9d88de6b9287c2815938)
Faisant encore, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}=g,&\qquad x^{2}+y^{2}-4c^{2}=k,\\y^{2}=h,&\qquad xy-a^{2}=f\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb822d2708e446db503952699fea7aec687b34cf)
elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&hv^{4}+2fv^{3}+kv^{2}+2fv+g=0,\\&hv^{4}+\ \,fv^{3}\qquad \ \ \ -\ \ fv-g=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e90c264704cff40a01ffbd2523464feaa3b8903)
éliminant, au moyen des multiplications successives, méthode
préférable à toutes les autres, comme la plus simple et la plus
symétrique, il viendra
![{\displaystyle f^{2}\left\{(6g-k)\left(4gh-f^{2}\right)-(6h-k)\left(2gk-3f^{2}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c251717805c2ee4d25cc4297e3a34b94ccf54c64)
![{\displaystyle \left\{(6h-k)\left(4gh-f^{2}\right)-(6g-k)\left(2hk-3f^{2}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855da7fbd5ac95ffa244859d66bd159e91207243)
![{\displaystyle =\left\{\left(4gh-f^{2}\right)^{2}-\left(2gk-3f^{2}\right)\left(2hk-3f^{2}\right)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6094b0fb5e1efbb8a902815469a754351c1a6e9d)