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QUESTIONS
![{\displaystyle {\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\\\b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2},&{\text{(II)}}\\\\b^{2}x''^{2}+a^{2}y''^{2}=a^{2}b^{2},&{\text{(III)}}\\\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0&{\text{(IV)}}\\\\\left.{\begin{array}{cr}a^{2}b^{2}(x'y''-y'x'')\left\{(x'-x'')x+(y'-y'')y\right\}&\\\\+(a^{2}-b^{2})(x'-x'')(y'-y'')(b^{2}x'x''+a^{2}y'y'')=0.&\end{array}}\right.&{\text{(V}})\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c8af3056966d41b713de1f0ca184cc44d110a8)
L’élimination entre ces équations ne pouvant être que très-laborieuse, nous passerons de suite au cas du cercle, pour lequel on
doit avoir
les équations sont alors
![{\displaystyle {\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\\\x'^{2}+y'^{2}=r^{2},\qquad {\text{(II)}}\qquad x''^{2}+y''^{2}=r^{2}&{\text{(III)}}\\\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0,&{\text{(IV)}}\\\\(x'y''-y'x'')\left\{(x'-x'')x+(y'-y'')y\right\}=0,&{\text{(V)}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb6fe2fd0792f6b6b4f2c606dfa7de6ca00ef15)
En égalant le premier facteur de la dernière équation à zéro, on aurait
![{\displaystyle {\frac {y'}{x'}}={\frac {y''}{x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e981e8cdb902f61f60865322eeb8842a45d3ee4)
équation qui, combinée avec les équations (II, III), donnerait
d’où
ou
la courbe cherchée
serait la courbe donnée elle-même, dans le premier cas, et dans
le second, elle se réduirait à un point placé à l’origine : ce ne sont
donc ici que des solutions particulières, de la nature de celles qui
ont été signalées, par M. Poncelet, à la page 229 du présent volume.