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RECHERCHE DES FOYERS
fois
toujours l’un de ces systèmes aéra réel et l’autre
imaginaire, Ainsi, indépendamment de deux foyers réels, situés
sur son grand axe, l’ellipse en a deux autres imaginaires, situés
sur son petit axe.
Si, dans ces deux séries de valeurs, on change
en
on aura les formules qui conviennent à l’hyperbole dont l’équation
est
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-1=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15da0a022634e4c7e78dc8d8359c0c27ecfd3b0c)
ces formules seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}g&=0,&h&=0,\\h&={\frac {1}{B}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}},&\qquad g&={\frac {1}{A}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}},\\k&=B{\sqrt {-1}},&k&=A,\\\alpha &=0,&\beta &=0,\\\beta &=-{\sqrt {A^{2}+b^{2}}}.{\sqrt {-1}}\,;&\alpha &=-{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b9ae710e969b8e52d16b3863c916172263ef97)
de sorte qu’ici ce sera toujours le second système qui sera réel.
S’il s’agit de la parabole, on pourra prendre l’équation
![{\displaystyle y^{2}-2Px=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f964f19f6266285130abda24deb124d4df8f4f)
ce qui donnera
![{\displaystyle a=0,\quad b=1,\quad c=0,\quad a'=-P,\quad b'=0,\quad d=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7afe457f42d5ce52be7d1bb62d41aec77a89b0)
en conséquence, nos six équations deviendront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1-g^{2}&=0,&\alpha +kg&=\lambda P,\\1-h^{2}&=\lambda ,&\beta +kh&=0,\\gh&=0,&\qquad \alpha ^{2}+\beta ^{2}-k^{2}&=0\,;\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecf0bf653342a55e0119b147639c6dafff473a6)
d’où on tirera