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RÉSOLUES.
![{\displaystyle \xi ={\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi 'a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424e666463d90018b8c49f174e58e74e88ecdad0)
parce que
est zéro en même temps que
on aura donc, par le retour des suites,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\Phi 'a}}\xi -{\frac {\Phi ''a}{2\Phi '^{3}a}}\xi ^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508d67703f895cb8dde16a64f1ee0bb308c76f84)
substituant cette expression de
dans l’équation (2), prenant
et
négativement, comme l’indique la figure, et ne retenant que la
première puissance de
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a-{\frac {\operatorname {F'} a}{\Phi 'a}}\xi \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5391873c4f7808ec22081d567168ae8c6d5357)
Cette équation se simplifie en prenant l’axe
du corps pour
axe des
En effet, dans ce cas
d’où
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g{\frac {\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}\xi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781cd85abe69bb0660964d530967e365013db8d8)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle \xi =\beta \operatorname {Cos} .\left(t{\sqrt {\frac {g\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}}+\beta '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b38937af0121b40e88ed982a1b56fb1f30890b8)
et
étant deux constantes arbitraires.
Si maintenant on différentie les fonctions
et
on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {F'} a={\frac {2(a+faf'a)}{\left(1+f'^{2}a\right)\left(a^{2}+f^{2}a\right)}}\left\{{\frac {1+faf''a+f'^{2}a}{a+faf'a}}-\left({\frac {f'af''a}{1+f'^{2}a}}+{\frac {a+faf'a}{a^{2}+f^{2}a}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9ea7ce976a47395644b348490dbeedeba2068d)
![{\displaystyle \Phi a={\frac {(a+faf'a)f''a}{\left(1+f'^{2}a\right)^{\tfrac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f21f42c1fb25634bd0da4481d05bab1896e7ce)