PROBLÈME III. Étant donnés trois points du périmètre d’une parabole et une tangente à cette courbe, trouver tant d’autres points de son périmètre et lui mener tant d’autres tangentes qu’on voudra ?
Solution. Ou la tangente donnée contient un des points donnés, ou bien aucun d’eux ne se trouve sur sa direction, ce qui fait deux cas.
Premier cas. La tangente donnée passant par l’un des trois points donnés ; par le Lemme 13, on déterminera tant d’autres points de la courbe qu’on voudra ; et, par le Lemme 7, on mènera par chacun d’eux une tangente à la courbe.
Ce cas aura généralement deux solutions.
Deuxième cas. Aucun des trois points donnés ne se trouvant sur la direction de la tangente ; par le Lemme 17, on déterminera le point de contact de cette tangente ; le problème se trouvera ainsi ramené au Problème 1.
Ce second cas peut avoir quatre solutions.
PROBLÈME IV. Étant donnés trois tangentes à une parabole et un point de son périmètre ; trouver tant d’autres tangentes à la courbe et tant de points de son périmètre qu’on voudra ?
Solution. Ou le point donné est sur la direction de l’une des tangentes, ou bien il ne se trouve sur aucune d’elles, ce qui fait deux cas.
Premier cas. Le point donné se trouvant sur l’une des trois tangentes données ; par le Lemme 14 ; on déterminera tant d’autres tangentes à la courbe qu’on voudra ; et, par le Lemme 8, on déterminera le point de contact de chacune d’elles.
Ce cas n’aura jamais qu’une solution, et n’exigera pas l’intervention du compas.
Deuxième cas. Le point donné ne se trouvant sur la direction d’aucune des trois tangentes ; par le Lemme 18, on déterminera la tangente en ce point, le problème se trouvera ainsi ramené au Problème II.
Ce second cas aura, au plus, deux solutions.
PROBLÈME V. Étant donnés deux points du périmètre d’une parabole et deux tangentes à cette courbe, trouver tant d’autres points et tant d’autres tangentes à la courbe qu’on voudra ?
