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CONSTRUCTION
LEMME 18. Étant donnés trois tangentes à une parabole et un point quelconque de son périmètre ; mener, par ce point, une quatrième tangente à la courbe ?
Solution. Soient
(fig. 20) les trois tangentes ;
et soit
le point donné, par lequel il s’agit de mener une quatrième
tangente à la courbe.
Supposons la question résolue ; et soit
la tangente cherchée,
coupant
en
Soit
l’intersection de
et
soit menée
coupant
en
les points
et
seront connus ; et il
suffira, pour mener la tangente demandée, d’en connaître un second
point
ce qui se réduira à connaître la distance
Or, si,
par les points
et
on mène des droites respectivement parallèles à
et
leur point
d’intersection devra (Théor. 6)
se trouver sur
on aura donc, à la fois,
![{\displaystyle \mathrm {GO:GD::GB:GC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0cddcc12d4087791a8dd0ca0a6f7fbbcddb6a0)
![{\displaystyle \mathrm {GA:GO::GH:GC} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336451063dc69e88320e5b5df230bbba4bf9eee4)
d’où, en multipliant et réduisant,
![{\displaystyle \mathrm {GA:GD::GB.GH} :{\overline {\mathrm {GC} }}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b8090997d7793ca72fc58194a8049ee5ce9ab3)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {GC} ={\sqrt {\frac {\mathrm {GB.GD.GH} }{\mathrm {GA} }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f3adef9f229e685a0c48cbd16efc9b122aa5f0)
quantité facile à construire.
Mais, à cause du double signe du radical, ce lemme pourra admettre deux solutions.
LEMME 19. étant donnés deux points du périmètre d’une parabole, la tangente en l’un de ces points et une autre tangente quelconque ; déterminer le point de contact de cette dernière ?