IV. À ne consulter que le degré de chacune de ces équations, on voit que l’équation finale pourrait s’élever jusqu’au trente-deuxième degré ; et, en supposant que l’équation linéaire (6) ne se comporte que comme une équation du premier degré, ce qui est assez probable, on voit que cette équation monterait encore au seizième degré. Il serait, à ce que je crois, long et pénible d’effectuer en toutes lettres cette élimination, à cause des facteurs étrangers qui, comme nous le verrons plus tard, pour un cas particulier, compliquent nécessairement le résultat final auquel on doit parvenir. J’avoue que je n’ai pas eu le courage de l’entreprendre, quelle que fût d’ailleurs ma bonne volonté de le faire.
Cependant, comme c’est une question fort intéressante en elle-même que celle de trouver, en général, quel est le degré de la courbe sur laquelle roule la polaire d’une section conique, quand le pôle parcourt une courbe de degré donné, et réciproquement ; j’ai été entraîné à faire les recherches suivantes qui, je l’espère, pourront dédommager en partie le lecteur de l’attention qu’il aura bien voulu donner à l’ébauche infructueuse que je viens de lui offrir.
V. Avant d’entrer en matière, je rappelle, pour l’intelligence de ce qui va suivre, ce théorème général, emprunté de la théorie des pôles :
Si un certain point est situé sur une ligne droite, tracée dans le plan d’une section conique, sa polaire passera par le pôle de cette même ligne droite.
Soit le pôle d’une certaine droite, assujetti à parcourir une courbe quelconque, tracée sur le plan de la section conique qui sert de directrice ou d’intermédiaire ; si l’on suppose que ce pôle se déplace infiniment peu de sa position primitive sur la courbe parcourue ; c’est-à-dire, sur celle qu’il est assujetti à parcourir, il n’aura pas quitté la tangente en ce point de cette courbe ; d’un autre côté, sa polaire, d’après le théorème qui précède, n’aura pas quitté
