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DES QUADRATURES.
engage, pour chaque cas particulier ; embarras dont on se formera
l’idée, en imaginant qu’on se trouve contraint de calculer numériquement plusieurs ordres successifs de différentielles qui peuvent
être souvent fort compliquées ; elle est entièrement impuissante quand
elle rencontre des séries divergentes, ou même des séries très-peu
convergentes ; tandis que la première, après un léger examen ; nécessaire pour reconnaître son aptitude, parvient à une très-grande
approximation, par des calculs fort simples, dont une bonne partie
est toute digérée dans des tables.
Je prends un exemple fort simple ; la recherche du logarithme
de
c’est le premier exemple que s’est proposé M. Kramp (Annales,
tom. VI, pag. 288) ; et nous savons que la méthode parabolique
s’y applique avec beaucoup de facilité.
Je fais donc
d’où
et pour avoir
je suppose
la suite
des différentielles de la fonction
est
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {dF} x}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d^{2}F} x}{\operatorname {d} x^{2}}}=+{\frac {1}{x^{3}}},\quad {\frac {\operatorname {d^{3}F} x}{\operatorname {d} x^{3}}}=-{\frac {1}{x^{4}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d031105c940590fb03184029380a40218a522b)
D’après ces formules, les séries (19, 20, 22), donnent, sans peine à la vérité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Log} .2=&1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots ,\\\\\operatorname {Log} .2=&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2^{2}}}+{\frac {1}{3.2^{3}}}+{\frac {1}{4.2^{4}}}+\ldots ,\\\\\operatorname {Log} .2=&{\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {1}{3.3^{2}}}+{\frac {1}{5.3^{4}}}+{\frac {1}{7.3^{6}}}+\ldots \right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fd2d0a56a33eaf33f78e1eb36fc65ce5575b90)
de ces trois séries, la première est inutile, attendu qu’elle n’est
point assez convergente ; la seconde n’est guère plus avantageuse ;