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DES QUADRATURES.

$0$ et $+n,$ l’autre entre $0$ et $-n$, que nous ajoutions leurs valeurs absolues, pour avoir l’aire parabolique inscrite entre $+n$ et $-n,$ que nous prenions enfin cette aire au lieu de l’aire $W,$ nous aurons

$W=2n\nu +{\frac {2n^{3}}{3}}B+{\frac {2n^{5}}{5}}D+\ldots \qquad$(47)

Or, les équations (45, 21), (44, 32) coïncideraient respectivement si l’on avait

$B={\frac {1}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}},\qquad D={\frac {1}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}},\ldots \,;$

donc, le résultat de l’élimination de $B,D,\ldots$ entre (44, 45) sera identique avec celui de l’élimination des différentielles ${\frac {1}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}},$ ${\frac {1}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}},\ldots$ entre les équations (21, 32) ; or, ce dernier résultat est celui de la méthode de M. Bérard ; donc aussi elle donne pour l’aire approchée celle de la courbe parabolique inscrite.

On est donc en droit de conclure, en toute rigueur, en vertu de l’axiome : Quæ sunt eadem, etc., que les méthodes de MM. Kramp et Bérard doivent, pour les mêmes diviseurs, donner les mêmes résultats.

La courbe parabolique (38), de l’ordre $n,$ inscrite entre les limites $\nu ,\operatorname {E} \nu ,$ à la courbe donnée, dont l’aire est $Z,$ a son aire propre $Z',$ entre les mêmes limites, exprimée en ordonnées équidistantes $\nu ,\operatorname {E} \nu ,$ : c’est le second membre de (45). Mais, si l’on traite immédiatement cette aire parabolique $Z'$ par la méthode de M. Dobenheim, on ne trouvera pas un résultat différent, si toutefois on prend un assez grand nombre d’aires autrement divisées $T',T'',\ldots ,$ pour éliminer le nombre ${\frac {n}{2}}$ de coefficiens des puissances de $\omega$ qui suivent $T$ dans la formule (10) appropriée à ce cas. Or, c’est