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RECHERCHE DES ORBITES

peut parvenir assez aisément, soit par une trace graphique soit par le calcul, ainsi qu’on va le voir.

L’équation (15) est évidemment le résultat de l’élimination de $p$ et $q$ entre les trois équations

$p^{3}=q^{2},\qquad$(I)

$p=\left(1+m^{2}+n^{2}\right)z^{2}+2(mg+nh)z+\left(g^{2}+h^{2}\right),$

$q={\frac {\mu (m'h-n'g)}{(m'n''-m''n')z+(m'h''-n'g'')}},$

dont les deux dernières peuvent être écrites ainsi

$\left\{z+{\tfrac {mg+nh}{1+m^{2}+n^{2}}}\right\}^{2}={\tfrac {1}{1+m^{2}+n^{2}}}\left\{p-\left(g^{2}+h^{2}\right)+{\tfrac {(mg+nh)^{2}}{1+m^{2}+n^{2}}}\right\},$ (II)

$q\left\{z+{\frac {m'h''-n'g''}{m'n''-m''n'}}\right\}=\mu {\frac {m'h-n'g}{m'n''-m''n'}}.\qquad$(III)

L’équation (I) est celle d’une seconde parabole cubique, tout à fait indépendante de la nature des données, et dont le paramètre est l’unité, c’est-à-dire, le demi-grand axe de l’orbite terrestre. En prenant donc une ligne droite, d’une longueur arbitraire, pour ce demi-grand axe, on pourra construire cette courbe avec soin, une fois pour toutes, et s’en servir pour tous les problèmes particuliers qu’on aura à résoudre^[1].

1. On peut tracer cette courbe sur le cuivre, et en tirer ensuite un nombre suffisant d’épreuves. C’est ainsi qu’on trouve chez M.^me veuve Courcier, à Paris, des épreuves de la première parabole cubique que M. Monge combine avec la ligne droite pour obtenir les racines réelles de l’équation du 3.^e degré sans second terme (Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tom. III, page 201).