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RECHERCHE DES ORBITES
![{\displaystyle (m'h-n'g)z''=\left\{(m'n''-m''n')z+(m'h''-n'g'')\right\}z\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8632d684ec1dfed158e2d38366f40ea2893ee378)
(13)
mettant pour
dans celle-ci sa valeur donnée par l’équation (3) et divisant par
on en tirera
![{\displaystyle r^{3}=-{\frac {\mu (m'h-n'g)}{(m'n''-n'm'')z+(m'h''-n'g'')}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5dcb9cd457281b9b4026c4f6d54e4e166d90d2b)
(14)
égalant enfin le cube de la valeur (10) de
au quarré de la valeur (14) de
on aura l’équation finale en ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
![{\displaystyle \left\{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)z^{2}+2(mg+nh)z+\left(g^{2}+h^{2}\right)\right\}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242e05f9c17c57ee52e7f4d057d23f480b2a78b)
![{\displaystyle ={\frac {\mu ^{2}(m'h-n'g)^{2}}{\left\{(m'n''-m''n')z+(m'h''-n'g'')\right\}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b444ad8ce85542005828e083683e0e36e2d92c00)
(15)
laquelle monte, en général, au 8.e degré.
L’élimination de
entre les équations (11 et 12) donne ensuite
![{\displaystyle 2(m'h-n'g)z'+(m''h-n''g)z=gh''-g''h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b22c0f6caa3344e7c79d875f5b6482359bcdbf)
d’où
![{\displaystyle z'=-{\frac {(m''h-n''g)z-(gh''-g''h)}{2(m'h-n'g)}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacce6fdc2e7c8ad5726117d83be082813180208)
(16)
ainsi,
étant déterminé par l’équation (15), on en conclura
par cette dernière formule ; les équations (4 et 5) donneront ensuite
le problème se trouvera donc complètement résolu.
Si l’on veut faire abstraction de la parallaxe de l’astre et de la petite latitude du centre de la terre, on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{crl}(7)&1+m^{2}+n^{2}&={\frac {1}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }},\\(7{\text{ et }}8)&mg+nh&=\varrho \operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )\operatorname {Cot} .\gamma ,\\(8)&g^{2}+h^{2}&=\varrho ^{2},\\(9)&m'h''-n'g''&=-{\frac {\mu }{\varrho ^{3}}}(m'h-n'g)\\(9)&gh''-g''h&=0\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c903d92a58b0e9ab4a89ee762ca5d7e3da10e90)
en conséquence, l’équation (15) deviendra