5
DES ASTRES.
![{\displaystyle \varepsilon (r\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .l+r\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .l)=(1+\varepsilon )p-r.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9552cbd8d964b2e5fc5f4d14fa2582a6cfce0822)
(2)
Mais, si
et
sont les coordonnées de l’extrémité du rayon vecteur, on aura
![{\displaystyle x=r\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c640ca8d97ccdb13228bc315cf462e508896908d)
(3)
d’où
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ccd05de10b65d9fafcd238dcb3e5f814b92633)
(4)
au moyen de quoi l’équation (2) deviendra
![{\displaystyle \varepsilon (x\operatorname {Cos} .l+y\operatorname {Sin} .l)=(1+\varepsilon )p-r.\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6131a41e41c9b8cdbb5a8ae69f9a86597efbfae)
(5)
En prenant le temps pour variable indépendante, et différentiant deux fois sous ce point de vue les équations (4, 5), il vient
![{\displaystyle xx'+yy'=rr',\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a298f58cd446cea4239e3b8c5b1b8ca6bd6fad75)
(6)
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+xx''+yy''=r'^{2}+rr'',\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1acb4ed8e10192bff29c36107f18be4afd2da2d)
(7)
![{\displaystyle \varepsilon (x'\operatorname {Cos} .l+y'\operatorname {Sin} .l)=-r',\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3b8d44cb8f840603c80c29fb2a1e047f6a17c1)
(8)
![{\displaystyle \varepsilon (x''\operatorname {Cos} .l+y''\operatorname {Sin} .l)=-r''.\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddd57d25321ab051fb365b24c74b0c23d6985cd)
(9)
D’un autre côté, la différentiation des équations (3) donne
![{\displaystyle x'=r'\operatorname {Cos} .\alpha -r\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad y'=r'\operatorname {Sin} .\alpha +r\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaa81d2807fd38f134ccb5b35b9aa10964f6d8a)
(10)
d’où on conclut (3, 10)
![{\displaystyle xy'-yx'=r^{2}\alpha '=2s',\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3fc90075384cd3e3c723bbeeae2337c6a31084)
(11)
étant l’aire décrite par le rayon vecteur. Mais nous avons (§. I.)
![{\displaystyle {\frac {s}{t{\sqrt {2(1+\varepsilon )p}}}}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\mu }}\,;\qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8a9a2866f2a7d79187bebad90fb4dbd19020f7)
(12)
d’où
![{\displaystyle 2s=t{\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3907e344cfecf22b10c561522b89a169bb964924)
(13)
donc, en différentiant,
![{\displaystyle 2s'={\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def85840f99dff9c76bcbbf4bf7bc34551b3ff8a)
(14)
et par conséquent