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RECHERCHES
et soit
le quarré donné. Tout se réduit évidemment à trouver l’une des deux diagonales,
par exemple. Nommons
cette diagonale ; nous aurons
![{\displaystyle Aire\ \mathrm {ABC} ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}x^{2}+2b^{2}x^{2}+2a^{2}b^{2}-x^{4}-a^{4}-b^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2854a1fd6a28d1052832593a4b91248811650d)
![{\displaystyle Aire\ \mathrm {ADC} ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2c^{2}x^{2}+2d^{2}x^{2}+2c^{2}d^{2}-x^{4}-c^{4}-d^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f57ebb797dae85260a311c1d2688b25154dc6f)
ajoutant donc ces deux équations, multipliant par 4 et ayant égard à la condition du problème, il viendra
![{\displaystyle {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}-x^{4}}}+{\sqrt {2\left(c^{2}+d^{2}\right)x^{2}-\left(c^{2}-d^{2}\right)^{2}-x^{4}}}=4k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caed8e753bdb57b793e1ff2d2a07c292eefdfb27)
équation qui doit donner ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
En chassant les radicaux, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a'^{2},\\&a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=b'^{2},\\&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}=c'^{2},\\&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=d'^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c0f363515ef80f31138ec46bd16d51a2816259)
il viendra
![{\displaystyle 4\left(16k^{4}+b'^{4}\right)x^{4}-4\left(16a'^{2}k^{4}-b'^{2}c'^{2}d'^{2}\right)x^{2}+\left(16k^{4}+c'^{4}\right)\left(16k^{4}+d'^{4}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d0682aaedc875f7daad7cf834601922dc56f26)
équation du quatrième degré qui se résout à la manière du second[1].
Ce problème conduit naturellement au suivant :
- ↑ On peut obtenir bien simplement l’angle des deux diagonales du quadrilatère. Soit
leur intersection. Faisons
![{\displaystyle \mathrm {OA} =\alpha ,\quad \mathrm {OB} =\beta ,\quad \mathrm {OC} =\gamma ,\quad \mathrm {OD} =\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab9f87929d5b52a24210da959747ecfa60e6378)
![{\displaystyle Ang.\mathrm {AOB} =Ang.\mathrm {COD} =\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21207b3e2363781c7552eb19d026c2e789435cb)
d’où
![{\displaystyle Ang.\mathrm {BOC} =Ang.\mathrm {DOA} =\varpi -\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a23803cb7e957a314160f138e111fc10b91d84)
nous aurons